Persamaan Garis Singgung Lingkaran I

by yos3prens

Sebelum menentukan persamaan garis singgung lingkaran, ada baiknya kita mengingat kembali mengenai sifat-sifat garis singgung lingkaran. Garis singgung lingkaran merupakan garis yang menyinggung suatu lingkaran. Kata kunci dari definisi tersebut adalah “menyinggung”. Apabila suatu garis menyinggung lingkaran, maka garis tersebut tepat melalui satu titik pada lingkaran. Perhatikan beberapa kedudukan garis terhadap lingkaran berikut.

Berdasarkan gambar di atas, kita dapat melihat bahwa garis k tidak memotong lingkaranO, garis l menyinggung lingkaran O di titik A, dan garis m memotong lingkaran O di titik-titik B dan C. Karena suatu garis singgung tepat melalui satu titik pada lingkaran (misalkan titik A), maka garis singgung tersebut akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang menghubungkan titik A dengan titik pusat lingkaran. Sifat dari garis singgung tersebut dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Pada bagian ini kita akan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = r2, yaitu lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari r. Perhatikan ilustrasi berikut.

Misalkan kita akan menentukan persamaan garis g yang melalui titik A(x1, y1), yaitu titik pada lingkaran x2 + y2 = r2. Karena titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka,

Selanjutnya kita buat ruas garis OA, yaitu ruas garis yang memiliki ujung-ujung di titik O(pusat lingkaran) dan titik A. Sehingga gradien dari ruas garis tersebut adalah

Karena garis g tegak lurus dengan ruas garis OA, maka

Karena garis g melalui titik A(x1, y1) dan bergradien mg = –x1/y1, maka persamaan garis gdapat ditentukan sebagai berikut.

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh x1x + y1y = r2. Sehingga, persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran x2 + y2 = r2 dapat disimpulkan sebagai berikut.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2.

Untuk lebih memahami mengenai persamaan garis singgung lingkaran, perhatikan contoh berikut.

Contoh: Menentukan Persamaan Garis Singgung

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, –3) pada lingkaran x2 + y2 = 13.

Pembahasan Dengan (x1, y1) = =(2, –3) dan x2 + y2 = 13, kita mendapatkan x1 = 2, y1 = –3, dan r2 = 13. Sehingga persamaan garis singgung tersebut adalah