PELUANG

• Pengenalan

Peluang atau kebolehjadian atau juga dikenal sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi.
Konsep Matematika  Probabilitas suatu kejadian adalah angka menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Contohnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil terjadi. Contohnya seekor sapi melahirkan seekor kambing.
Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A) , p(A) , Pr(A) . Sebaliknya, jika probabilitas bukan A atau komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi adalah 1-P(A) .  Contohnya, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu berisi enam digulirkan adalah 1 - 1/6 = 5/6

Rumus-rumus Peluang

A. Kaidah Permutasi dan Kombinasi

1. Permutasi

Banyaknya kemungkinan dengan memperhatikan urutan yang ada.
Misalkan n = A , B , C , D
Terjadinya 12 kemungkinan, yaitu = AB , AC , AD , BA , BC , BD , CA , CB , CD , DA , DB , DC

AB  ≠  BA        BD  ≠   DB

AC  ≠  CA        CD  ≠   DC  

AD  ≠  DA        BC  ≠   CB

Rumus =

 

 

Jika, n = 4 ; r = 2 , maka bisa diselesaikan dengan rumus diatas.

     

     

Contoh soal permutasi dengan banyak kemungkinan

1. Dari 7 orang perwakilan kelas dipilih ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak kemungkinan yang terjadi dengan tidak ada jabatan rangkap adalah?

Jawaban : 

Misalkan 7 orang adalah A , B , C , D , E , F , G

Apabila : A sebagai ketua , B sebagai sekretaris , C sebagai bendahara. Akan berbeda apabila : A sebagai sekretaris , B sebagai bendahara , C sebagai ketua,

1.1 Permutasi dengan beberapa unsur yang sama

Jika ada n objek dengan r₁ unsur sama r₂ unsur sama .... r_n unsur sama banyaknya susunan yang mungkin ada :

Contoh soal permutasi dengan beberapa unusr yang sama
1. Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf "PENDIDIK" adalah?
Jawaban :
Diketahui jumlah huruf (n) = 8
Jumlah huruf yang >1 : D = 2 ( r₁ ) ; I = 2 ( r₂ )




2. Kombinasi Banyaknya kemungkinan dengan tidak memperhatikan urutan yang ada.  Misalkan n = A , B , C , D  Dipilih 2 kejadian = AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC 
AB   =  BA       BD  =   DB  AC   =  CA       CD  =   DC  AD   =  DA       BC  =   CB
6 kejadian diatas adalah sama sehingga dihitung 1. Sehingga kemungkinan yang terjadi adalah 12-6 = 6 kemungkinan (tidak memperhatikan urutan yang ada)



Kasus diatas dengan rumus seperti diatas :
Diketahui : n = 4 ; r = 2

Contoh soal Kombinasi
1. Berapa kemungkinan yang terjadi apabila dari 10 orang anak akan diambil sebagai pemain futsal?
Jawab :
Pemain futsal = 5 orang ; n = 10
Jawabannya menggunakan rumus kombinasi karena 1 orang mewakili 1 kemungkinan saja.



B. Peluang suatu kejadian Rumus peluang suatu kejadian = 

p(A) = Peluang kejadian
n(A) = Banyaknya kemungkinan kejadian A
n(S) = Banyaknya kemungkinan kejadian sampel


Contoh soal :
1. Jika suatu dadu dan sekeping uang dilempar undi satu kali bersama, maka peluang untuk memperoleh gambar pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah?

Jawab :

n(A) = Banyaknya kemungkinan kejadian A

n(S) = Banyaknya kemungkinan kejadian sampel
*banyaknya kejadian sample :

A = Angka
G = Gambar





n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 12
*Banyaknya kemungkinan kejadian A (Gambar dan bilangan ganjil) diatas, didapat (G,1) ; (G,3) ; (G,5) = n(A) = 3. Sehingga peluang kejadiannya

C. Hukum-Hukum Peluang
1. Kejadian saling komplemen

Jika A' = kejadian bukan A (komplemen A), maka,  P(A') = 1 - P(A) 

2. Dua Kejadian

a. P (A ∩ B) = P(A) x P(B)

b. P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )  

 Contoh Soal :

1. Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UN berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98. Peluang siswa sekolah A dan siswa sekolah B tidak lulus UN adalah?

Jawab :

Ini merupakan 2 kejadian : kejadian 1 => siswa sekolah A lulus = P(A lulus)

                               kejadian 2 => siswa sekolah B tidak lulus = P(B tidak lulus)

Ditanya : Peluang siswa sekolah A dan siswa sekolah B tidak lulus.

Diketahui : P(A lulus) = 0.99

       P(B lulus) = 0.98

3. Frekuensi Harapan
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P(A), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah = n x P(A)
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1?
Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} maka n(S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka :




A= {1} dan n(A) sehingga : Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah :

4. Kisaran nilai peluang
Misalkan A adalah kejadian pada ruang sample S dengan n(S) = n ; n(A) = k ; dan

Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0.1]. Kejadian yang peluangnya 0 dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti. (seperti yang sudah dijelaskan pada bagian pengenalan materi peluang)