FPB DAN KPK

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan

Cara mencari FPB


Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan
Contoh
Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24
Faktor 18  =  {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor 24  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Faktor persekutuan dari 18 dan 24 =  { 1, 2, 3, 6}
FPB dari 18 dan 24 =  6
Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120

Faktor 75  =  {1, 3, 5, 15, 25, 75}
Faktor 120            =  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Faktor persekutuan dari 75 dan 120  =  {1, 3, 4, 15}
FPB dari 75 dan 120  =  15
Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72

Faktor 36  =  {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Faktor 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}
Faktor 72  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Faktor persekutuan dari 36 dan 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 12}
FPB dari 36 dan 48  =  12





Menggunakan Pohon Faktor

• Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.
• Tulis faktorisasi primanya.
• Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.
• Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat yang terendah.

Contoh


Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30

• 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
• Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
• Maka FPB =  2 X 5  =  10

Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60

• 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 2.
• Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
• Maka FPB =  2² X 3 =  12

Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 36

• 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima ketiga pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
• Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
• Maka FPB =  2 X 3 =  6

Menggunakan Tabel

• Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.
• Beri tanda faktor prima yang sama.

Contoh
Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

	21	35
3	7	5
5	7	1
7	1	1

FPB  =  3
Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

FPB  = 2 X 3 X 3
=  2 X 3² =  18
Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120

	75	105	120
2	75	105	60
2	75	105	30
2	75	105	15
3	25	35	5
5	5	7	1
5	1	7	1
7	1	1	1

FPB  =  3  X  5  =  15

KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

KPK merupakan kelipatan paling kecil dari gabungan beberapa bilangan

Cara mencari KPK
Menggunakan Himpunan Kelipatan Persekutuan


Contoh :
a.          Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12
Kelipatan 8     =  {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
Kelipatan 12               =  {21, 24, 36, 48, 60, 72, ….}
Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12  =  { 24, 48, …}
KPK dari 8 dan 12 =  24



b.         Tentukan KPK dari bilangan 15 dan 20
Kelipatan 15            =  {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
Kelipatan 20            =  {20, 40, 60, 80, 100,120, …}
Kelipatan persekutuan dari 15 dan 20  =  {60, 120, ….}
KPK dari 15 dan 20 =  60



c.          Tentukan KPK dari bilangan 6, 8 dan 10
Kelipatan 6      =  {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}
Kelipatan 8      =  {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
Kelipatan 12   =  {12, 24, 36, 48, 60, …}
Kelipatan persekutuan dari 6, 8 dan 12  =  {24, 48, …}
KPK dari 6, 8 dan 12  =  24

Menggunakan Pohon Faktor

• Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.
• Tulis faktorisasi primanya.
• Kalikan semua faktorisasi prima
• Jika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan dengan pangkat yang tertinggi.

Contoh :
Tentukan KPK dari bilangan 10 dan 15

• 2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
• Pangkat tertinggi 5 adalah 1
• Maka KPK =  2 X 3 X 5 =  30

Tentukan KPK dari bilangan 12 dan 30

• 2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
• Pangkat tertinggi 2 adalah 2.
• Pangkat tertinggi 3 adalah 1.
• Maka KPK = 2² X 3 X 5  =  60

Tentukan FPB dari bilangan 8, 24, dan 36

• 2 dan 3 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
• Pangkat tertinggi 2 adalah 3.
• Pangkat tertinggi 3 adalah 2.
• Maka KPK = 2³ X 3² =  72

Menggunakan Tabel

• Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya.
• Kalikan semua faktor prima.

Contoh
Tentukan KPK dari bilangan 16 dan 40

	16	40
2	8	20
2	4	10
2	2	5
2	1	5
5	1	1

KPK  =  2 X 2 X 2 X 2 X 5
=   2⁴ X 5  =  80


Tentukan KPK dari bilangan 36 dan 64

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

KPK  = 2 X 2 X 3 X 3 X 3
=  2² X 3³ =  108
Tentukan KPK dari bilangan 10, 15 dan 25

	10	15	25
2	5	15	25
3	5	5	25
5	1	1	5
5	1	1	1

KPK  =  2  X 3  X  5  X 5
=   2 X 3 X 5² =  150


saran :  dalam mencari FPB dan KPK lebih mudah menggunakan cara tabel




Contoh Soal FPB dan KPK
Doni mempunyai 20 butir kelereng merah, 28 butir kelereng putih, dan 36 butir kelereng biru.  Kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kantong dengan isi sama banyak.  Berapa kantong yang diperlukan ?  Berapa butir kelereng merah, kelereng putih, dan kelereng biru dalam satu kantong ?


Penyelesaian
FPB dari 20, 28, dan 36

	20	28	36
2	10	14	18
2	5	7	9
3	5	7	3
3	5	7	1
5	1	7	1
7	1	1	1

FPB dari 20, 28, dan 36  =  2 X 2 = 4
Jadi jumlah kantong yang diperlukan =  4 kantong

Isi tiap kantong :

• Kelereng merah          =  20  :  4  =  5 butir
• Kelereng putih            =  28  :  4  =  7 butir
• Kelereng biru   =  36  :  4  =  9 butir

Pak Andi mendapat giliran ronda setiap 4 hari.  Pak Karim mendapat giliran ronda setiap 6 hari.  Pak Tedi mendapat giliran ronda setiap 8 hari.  Setiap berapa hari mereka ronda bersama-sama ?  Jika mereka ronda bersama-sama tanggal 1 Januari 2008, tanggal berapakah mereka ronda bersama-sama lagi ?


Penyelesaian
KPK dari 4, 6 dan 8

	4	6	8
2	2	3	4
2	1	3	2
2	1	3	1
3	1	1	1

KPK dari 4, 6, dan 8              =  2 X 2 X 2 X 3
=  2³ X 3
=  8  X  3
=  24
Jadi mereka ronda bersama-sama setiap 2